坐标变换

矩阵图形渲染

平移
齐次坐标，给向量多添加一个维度

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{'} = x + t_{x} \\ y^{'} = y + t_{y} \end{matrix} \\ (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & t_{x} \\ 1 & t_{y} \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

缩放

\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{'} = s_{x} \cdot x \\ y^{'} = s_{y} \cdot y \end{array} \\ (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \end{matrix}

旋转

\begin{matrix} x = r \cos α \\ y = r \sin α \\ x^{'} = r \cos (α + θ) = r \cos α \cos θ - r \sin α \sin θ \\ y^{'} = r \sin (α + θ) = r \sin α \cos θ + r \cos α \sin θ \\ x^{'} = x \cos θ - y \sin θ \\ y^{'} = x \sin θ + y \cos θ \\ ⟶ (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ g \end{matrix}) \end{matrix}

S = (\begin{matrix} s_{x} \\ s_{y} \\ 1 \end{matrix}) R = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \\ 1 \end{matrix}) T = (\begin{matrix} 1 & t_{x} \\ 1 & t_{y} \\ 1 \end{matrix})

\begin{matrix} R_{x} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ R_{y} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ 1 \\ \sin θ & \cos θ \\ 1 \end{matrix}) \\ R_{z} = (\begin{matrix} 1 \\ \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

S = (\begin{matrix} s_{x} \\ s_{y} \\ s_{z} \\ 1 \end{matrix})

T = (\begin{matrix} 1 & t_{x} \\ 1 & t_{y} \\ 1 & t_{z} \\ 1 \end{matrix})